Exemplo De Função Do 2 Grau Exercícios Resolvidos Com Gráficos

Exemplo De Função Do 2 Grau Exercicios Resolvidos Com Graficos! Prepare-se para uma jornada fascinante pelo mundo das funções quadráticas! Vamos desvendar os segredos por trás dessas curvas encantadoras, explorando desde a equação geral até a construção precisa de seus gráficos. Dominaremos técnicas poderosas como a fórmula de Bhaskara e a fatoração, desvendando raízes, vértices e concavidades com maestria.

Prepare-se para visualizar a matemática em ação, com exemplos práticos que vão te surpreender!

Neste guia completo, você encontrará exercícios resolvidos passo a passo, tabelas ilustrativas e explicações claras e concisas. Descobriremos como as funções do segundo grau se aplicam a situações reais, mostrando sua importância em diversas áreas do conhecimento. Aprenderá a interpretar gráficos, prever comportamentos e resolver problemas com confiança e precisão. Prepare-se para se tornar um expert em funções quadráticas!

Introdução à Função do 2º Grau: Exemplo De Função Do 2 Grau Exercicios Resolvidos Com Graficos

A função do 2º grau, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial de grau 2 que desempenha um papel crucial em diversas áreas da matemática e suas aplicações. Sua representação gráfica é uma parábola, uma curva com características geométricas específicas que permitem a análise de seus comportamentos e soluções.

Forma Geral da Equação Quadrática

A forma geral da equação de uma função quadrática é dada por: f(x) = ax² + bx + c, onde a, b, e c são coeficientes reais, e a é diferente de zero (a ≠ 0). A condição a ≠ 0 garante que a função seja de fato quadrática.

Significado dos Coeficientes a, b e c

Os coeficientes a, b, e c influenciam diretamente a forma e a posição da parábola no plano cartesiano. O coeficiente a determina a concavidade da parábola (para cima se a > 0, para baixo se a < 0) e o seu "fechamento" (quanto maior o valor absoluto de a, mais fechada a parábola). O coeficiente b afeta a posição do vértice da parábola e sua inclinação.

O coeficiente c representa o ponto de interseção da parábola com o eixo y (o valor de f(x) quando x = 0).

Representação Gráfica: A Parábola

A representação gráfica de uma função do 2º grau é uma parábola, uma curva simétrica em relação a uma reta vertical chamada eixo de simetria. O ponto onde a parábola intercepta o eixo de simetria é o vértice da parábola, que representa o ponto de máximo ou mínimo da função, dependendo da concavidade.

Exemplos de Funções do 2º Grau e suas Parábolas

Encontrando as Raízes (Zeros) da Função

As raízes, ou zeros, de uma função do 2º grau são os valores de x para os quais f(x) = 0. Esses valores representam os pontos de interseção da parábola com o eixo x. Existem dois métodos principais para encontrar as raízes: a fórmula de Bhaskara e a fatoração.

Métodos para Encontrar as Raízes

A fórmula de Bhaskara e a fatoração são métodos eficazes para determinar as raízes de uma equação quadrática. A escolha do método depende da estrutura da equação e da facilidade de aplicação em cada caso.

Comparação entre Fórmula de Bhaskara e Fatoração

A fórmula de Bhaskara é um método geral que sempre fornece as raízes, mesmo quando a equação não pode ser fatorada facilmente. A fatoração, por sua vez, é mais rápida quando aplicável, oferecendo uma solução mais direta. A fórmula de Bhaskara, porém, pode envolver cálculos mais complexos, especialmente com coeficientes não inteiros.

Resolução de Exercícios Utilizando a Fórmula de Bhaskara

Vamos resolver três exemplos utilizando a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b²
-4ac)) / 2a

1. Exemplo 1: f(x) = x²5x + 6. a = 1, b = -5, c = 6. Aplicando a fórmula, encontramos x = 2 e x = 3.
2. Exemplo 2: f(x) = 2x² + 4x – 6. a = 2, b = 4, c = -6. Aplicando a fórmula, encontramos x = 1 e x = -3.
3. Exemplo 3: f(x) = x²4x + 4. a = 1, b = -4, c = 4. Aplicando a fórmula, encontramos x = 2 (raiz dupla).

Resolução de Exercício Utilizando Fatoração

Vamos resolver um exemplo utilizando a fatoração:

Exemplo: f(x) = x²
-7x + 12

1. Encontrar dois números que multiplicados resultem em 12 e somados resultem em -7. Esses números são -3 e -4.
2. Reescrever a equação como: (x – 3)(x – 4) = 0
3. Resolver as equações: x – 3 = 0 => x = 3; e x – 4 = 0 => x = 4.
4. Portanto, as raízes são x = 3 e x = 4.

Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto de máximo ou mínimo da função, dependendo da concavidade. Suas coordenadas, (x _v, y _v), são importantes para o esboço do gráfico da função.

Cálculo das Coordenadas do Vértice

As coordenadas do vértice podem ser calculadas usando as seguintes fórmulas:

x_v = -b / 2a

y_v = f(x _v) = a(x _v)² + b(x _v) + c

Encontrando o Vértice com Exemplos Numéricos

Vamos encontrar o vértice de três funções:

1. f(x) = x² + 2x + 1: x_v = -2 / (21) = -1; y _v = (-1)² + 2(-1) + 1 =

   0. Vértice

   (-1, 0)

2. f(x) = -x² + 4x – 3: x _v = -4 / (2
   • -1) = 2; y _v = -(2)² + 4(2)
   • 3 =

   1. Vértice

   (2, 1)

3. f(x) = 2x²

   6x + 4

   x _v = 6 / (2

   • 2) = 1.5; y _v = 2(1.5)²
   • 6(1.5) + 4 = -0.

   5. Vértice

   (1.5, -0.5)

Tabela com Coordenadas do Vértice

Concavidade da Parábola

A concavidade da parábola indica se ela se abre para cima ou para baixo. Essa característica é determinada exclusivamente pelo coeficiente ‘a’ da equação quadrática.

Determinação da Concavidade

Se a > 0, a parábola tem concavidade para cima, apresentando um ponto de mínimo no vértice. Se a < 0, a parábola tem concavidade para baixo, apresentando um ponto de máximo no vértice.

Parábolas com Concavidades Diferentes

Uma parábola com concavidade para cima tem seu vértice como ponto mínimo, e os valores da função crescem indefinidamente à medida que x se afasta do vértice em ambas as direções. Uma parábola com concavidade para baixo tem seu vértice como ponto máximo, e os valores da função decrescem indefinidamente à medida que x se afasta do vértice em ambas as direções.

Exemplos de Funções com Concavidades Diferentes

Concavidade para cima: f(x) = x² + 2x + 1 (a = 1 > 0). O vértice (-1, 0) é um ponto de mínimo. A parábola se abre para cima.

Concavidade para baixo: f(x) = -x² + 4x – 3 (a = -1 < 0). O vértice (2, 1) é um ponto de máximo. A parábola se abre para baixo.

Interseção com os Eixos

Determinar os pontos de interseção da parábola com os eixos x e y é fundamental para o esboço do gráfico.

Interseção com o Eixo x (Raízes), Exemplo De Função Do 2 Grau Exercicios Resolvidos Com Graficos

Os pontos de interseção com o eixo x são as raízes da função, encontradas através da resolução da equação ax² + bx + c = 0, utilizando métodos como a fórmula de Bhaskara ou a fatoração (já detalhados anteriormente).

Interseção com o Eixo y

O ponto de interseção com o eixo y é encontrado substituindo x = 0 na equação da função. Isso resulta em f(0) = c. Portanto, o ponto de interseção é (0, c).

1. Substituir x = 0 na equação da função.
2. Calcular o valor de f(0).
3. O ponto de interseção com o eixo y é (0, f(0)).

Exemplos Numéricos

Exemplo 1 (Interseção com eixo x): f(x) = x²
-4. As raízes são x = 2 e x = -2 (resolvido pela fatoração ou Bhaskara).

Exemplo 2 (Interseção com eixo y): f(x) = 2x² + 3x – 1. A interseção com o eixo y é (0, -1) (f(0) = -1).

Construção do Gráfico

A construção do gráfico de uma função do 2º grau envolve a utilização das informações obtidas sobre as raízes, o vértice e a concavidade.

Guia Passo a Passo para Construção do Gráfico

1. Determinar a concavidade da parábola (a > 0: concavidade para cima; a < 0: concavidade para baixo).
2. Calcular as coordenadas do vértice (x_v, y _v).
3. Encontrar as raízes (pontos de interseção com o eixo x), se existirem.
4. Encontrar o ponto de interseção com o eixo y (0, c).
5. Escolher alguns pontos adicionais para melhor precisão do gráfico, substituindo valores de x na equação e calculando os respectivos valores de y.
6. Plotar os pontos encontrados no plano cartesiano.
7. Desenhar a parábola, conectando os pontos e respeitando a concavidade.

Exemplo Completo

Vamos construir o gráfico de f(x) = x²
-2x – 3.

1. Concavidade: a = 1 > 0, portanto, concavidade para cima.

2. Vértice: x _v = -(-2) / (2
– 1) = 1; y _v = (1)²
-2(1)
-3 = –
4. Vértice: (1, -4).

3. Raízes: (x – 3)(x + 1) = 0 => x = 3 e x = -1.

4. Interseção com o eixo y: (0, -3).

5. Pontos adicionais: Para x = 2, y = -3; para x = -2, y = 5.

6. Descrição do gráfico: Uma parábola com concavidade para cima, vértice em (1, -4), interceptando o eixo x em (3, 0) e (-1, 0), e o eixo y em (0, -3). Passa pelos pontos (2, -3) e (-2, 5).

Aplicações da Função do 2º Grau

A função do 2º grau possui amplas aplicações em diversas áreas do conhecimento, modelando situações reais de forma eficaz.

Exemplos de Aplicações em Situações Reais

A função do 2º grau é utilizada para modelar trajetórias de projéteis na física, calcular áreas em geometria, descrever o crescimento ou decrescimento de populações em biologia, e otimizar processos em engenharia, entre outras aplicações.

Resolução de Problema Prático

Problema: Um foguete é lançado verticalmente para cima. Sua altura (em metros) em relação ao tempo (em segundos) é dada pela função h(t) = -5t² + 20t. Determine o tempo que o foguete leva para atingir a altura máxima e qual é essa altura máxima.

Resolução: A função h(t) é uma função quadrática com a = -5, b = 20, c =
0. O tempo para atingir a altura máxima corresponde à coordenada x do vértice: t _v = -b / 2a = -20 / (2
– -5) = 2 segundos. A altura máxima corresponde à coordenada y do vértice: h(2) = -5(2)² + 20(2) = 20 metros.