3 Exemplos De ResoluçAo De EquaçAo Biquadradas Do 2 Grau

3 Exemplos De Resoluçao De Equaçao Biquadradas Do 2 Grau é um tópico fundamental na álgebra, que envolve a resolução de equações polinomiais de quarto grau. Dominar a resolução de equações biquadradas é essencial para o estudo de diversas áreas, como física, engenharia e matemática aplicada.

Neste artigo, exploraremos três exemplos práticos que ilustram os métodos de resolução dessas equações, desde casos simples até aqueles com coeficientes fracionários e negativos.

As equações biquadradas são caracterizadas por terem um termo de grau quatro, seguido por um termo de grau dois e uma constante. A chave para resolver essas equações é transformar a equação original em uma equação do segundo grau, através de uma substituição inteligente.

Após resolver a equação do segundo grau, é possível retornar à variável original e obter as soluções da equação biquadrada. Os exemplos que apresentaremos neste artigo demonstram passo a passo o processo de resolução, desde a escolha da substituição adequada até a obtenção das soluções finais.

Equações Biquadradas do 2º Grau: Uma Abordagem Detalhada: 3 Exemplos De Resoluçao De Equaçao Biquadradas Do 2 Grau

As equações biquadradas do 2º grau, também conhecidas como equações do quarto grau, são equações polinomiais que possuem um termo com a variável elevada à quarta potência. Aprender a resolver esse tipo de equação é fundamental para diversos campos da matemática, como álgebra, geometria e cálculo, além de ser essencial para o desenvolvimento de habilidades analíticas e de resolução de problemas.

As equações biquadradas do 2º grau podem ser resolvidas através de um método específico que envolve a transformação da equação original em uma equação do 2º grau. Essa transformação é realizada por meio de uma substituição de variável, que permite simplificar a equação e facilitar a resolução.

A seguir, apresentaremos três exemplos detalhados para ilustrar o processo de resolução de equações biquadradas.

Exemplo 1: Resolvendo uma Equação Biquadrada Simples

Vamos considerar a seguinte equação biquadrada simples:

x⁴

5x²+ 4 = 0

Para resolver essa equação, podemos realizar a seguinte substituição:

y = x²

Substituindo na equação original, obtemos:

y²

5y + 4 = 0

Essa equação agora é uma equação do 2º grau, que pode ser resolvida utilizando a fórmula quadrática:

y = (-b ± √(b²

4ac)) / 2a

Onde a = 1, b = -5 e c = 4. Substituindo os valores, temos:

y = (5 ± √((-5)²

• 4
• 1
• 4)) / (2
• 1)

y = (5 ± √9) / 2

y = (5 ± 3) / 2

Portanto, as soluções para y são:

y₁= 4

y₂= 1

Agora, para encontrar as soluções para x, precisamos retornar à substituição original:

y = x²

Para y ₁= 4:

x²= 4

x = ±2

Para y ₂= 1:

x²= 1

x = ±1

Portanto, as soluções da equação biquadrada original são:

x₁= 2

x₂=

2

x₃= 1

x₄=

1

Exemplo 2: Resolvendo uma Equação Biquadrada com Coeficientes Fracionários

Considere a equação biquadrada:

(1/2)x⁴

(3/4)x²+ (1/8) = 0

Para simplificar os coeficientes fracionários, podemos multiplicar toda a equação por 8:

4x⁴

6x²+ 1 = 0

Agora, podemos realizar a substituição y = x ², obtendo:

4y²

6y + 1 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau utilizando a fórmula quadrática, obtemos:

y = (6 ± √(6²

• 4
• 4
• 1)) / (2
• 4)

y = (6 ± √20) / 8

y = (6 ± 2√5) / 8

y₁= (3 + √5) / 4

y₂= (3

√5) / 4

Retornando à substituição original, temos:

x²= (3 + √5) / 4

x = ±√((3 + √5) / 4)

x²= (3

√5) / 4

x = ±√((3

√5) / 4)

Portanto, as soluções da equação biquadrada original são:

x₁= √((3 + √5) / 4)

x₂=

√((3 + √5) / 4)

x₃= √((3

√5) / 4)

x₄=

• √((3
• √5) / 4)

Exemplo 3: Resolvendo uma Equação Biquadrada com Coeficientes Negativos

Vamos analisar a equação biquadrada:

-x⁴+ 2x ²

1 = 0

Para lidar com os coeficientes negativos, podemos multiplicar toda a equação por -1:

x⁴

2x²+ 1 = 0

Realizando a substituição y = x ², obtemos:

y²

2y + 1 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau utilizando a fórmula quadrática, obtemos:

y = (2 ± √(2²

• 4
• 1
• 1)) / (2
• 1)

y = (2 ± √0) / 2

y = 1

Retornando à substituição original, temos:

x²= 1

x = ±1

Portanto, as soluções da equação biquadrada original são:

x₁= 1

x₂=

1

Considerações Finais

É importante lembrar que, ao resolver equações biquadradas, é fundamental realizar a substituição de variável corretamente e prestar atenção aos sinais dos coeficientes. É crucial verificar se as soluções obtidas para a equação do 2º grau são válidas para a equação biquadrada original.

Além disso, é importante ter cuidado com as operações com radicais, certificando-se de que as soluções obtidas são reais e válidas.

Para consolidar o aprendizado, recomenda-se a resolução de exercícios adicionais sobre equações biquadradas. A prática constante é essencial para desenvolver a fluidez na resolução desse tipo de equação e para evitar erros comuns. A prática também permite a identificação de padrões e estratégias que facilitam a resolução de problemas mais complexos.